16+
Лайт-версия сайта

Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления

Изобретения / Другое / Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления
Просмотр работы:
29 марта ’2018   10:16
Просмотров: 3485

Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления
(Доработанный вариант статьи «Решение Большой теоремы Ферма методом деления»)
Ведерников С. И.
Теорема:
для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа.
Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение X^2+Y^2=Z^2 является частным случаем уравнения X^n+Y^n=Z^n и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение X^n+Y^n=Z^n при n > 2 не имеет целочисленных множителей для X^n или Z^n, то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки ( 5; 12; 13 ).
Имеем: X^2+Y^2=Z^2↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2.
Преобразуем выражение:
Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (1)
Разложим ф. (1) на множители:
Z+X=Y_1↔13+5=18; (2)
Z-X=Y_2↔13-5=8. (3)
Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):
2∙Z=Y_1+Y_2↔18+8=26; откуда:
Z=(Y_1+Y_2)/2=(2(9+4))/2=13. (4)
Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2):
2∙X=Y_1-Y_2↔18-8=10; откуда:
X=(Y_1-Y_2)/2=(2(9-4))/2=5. (5)
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2 уравнения X^n+Y^n=Z^n возможно выделение целочисленных множителей Y^n и целочисленных значений X и Z.
Произведём разложение на множители в уравнении X^n+Y^n=Z^n при n>2. Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем 2^n, при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1.
Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
Имеется:
X^n+Y^n=Z^n.
Преобразуем исходное уравнение:
Z^n-X^n=Y^n. (1)
Разложим на множители ф. (1).
Z^(n/2)+X^(n/2)=Y^(n-m); (2)
Z^(n/2)-X^(n/2)=Y^m. (3)
Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем 2^2, а в общем случае 2^(n-1.) Разложение на множители Z^n-X^n=Y^n при чётном n=2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда Y^(n-m) имеет множитель 2, а Y^m - 2^(n-1), и когда Y^(n-m) имеет множитель 2^(n-1), а Y^m только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф.(6) и ф.(11).)
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
2∙Z^(n/2)=Y^(n-m)+Y^m;
Z^(n/2)=(Y^(n-m)+Y^m)/2; (4)
а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
2∙X^(n/2)=Y^(n-m)-Y^m;
X^(n/2)=(Y^(n-m)-Y^m)/2. (5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел Y^(n-m) или Y^m имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2^(n-1), поскольку Y^n - число чётное и имеет множителем минимум одно число 2^n. При этом Y^(n-m) и Y^m не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также Z^n и X^n, что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому Y^(n-m) и Y^m должны состоять из различных множителей числа Y^n в той же степени, в степени n.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел Y^(n-m) или Y^m должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
Z^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_1^n; (6)
Z^(n/2)-X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_2^n; (7)
имея в виду, что Y_1^n - число нечётное.
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение Z^(n/2) и X^(n/2), подставив вместо Y^(n-m) значение 2∙Y_1^n, а вместо Y^m значение 2^(n-1)∙Y_2^N.
Z^(n/2)=(2∙Y_1^n+2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n;
X^(n/2)= (2∙Y_1^n-2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n.
Итак, имеем:
Z^(n/2)=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n; (8)
X^(n/2)=Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n. (9)
Поскольку X^(n/2) является степенью числа X при чётном n≥4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n - х степеней. X^(n/2)=(Y_1-√(n&2^(n-2) )∙Y_2)∙(Y_1^(n-1)+⋯+2^(((n-2)∙(n-1))/n)∙Y_2^(n-1)). (10)
Очевидно, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n – х степеней.
Рассмотрим ф. (7): Z^(n/2) – X^(n/2) = 2^(n – 1)Y_2^n .
Преобразуем 2 ^(n – 1)Y_2^n следующим образом:
2^(n – 1)Y_2^n = (2^n Y_2^n)/2 =( Y_3^n)/2.
Выразим Y_3^n разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем 2^n при n > 2 , можно хотя б один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, а точнее, разность этих чисел, имеет только один множитель 2, а второй – сумма этих чисел - множитель 2^(n – 1).
Пусть: Y_3^n = A^2 – B^2.
Тогда: (Y_3^n)/2 = (A^2 – B^2)/2 = A^2/2 – B^2/2. (11)
Разложим ф. (11) на множители:
A^2 – B^2 = (A/2^{1/2} – B/{1/2})(A/2^{1/2} + B/{1/2}). (12)
Как следует из ф. (12), число 2^(n – 1)Y_2^n невозможно разложить на целочисленные множители и, следовательно, нельзя представить разностью квадратов двух нечётных чисел, поэтому можно сделать вывод, что ф. (7) и уравнение X^n + Y^n = Z^n при чётном n > 3 не имеет решения в целых числах.
Допустим:
Z^(n/2)+X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_4^n; (13)
Z^(n/2)-X^(n/2)=2∙Y_5^n. (14)
Формулу (13) можно рассмотреть аналогично ф. (7), где результат разложения правой её части аналогичен ф. (12).
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (13) и (14), аналогичным вышеизложенным, имеем:
Z^(n/2)=2^(n-2)∙Y_4^n+Y_5^n; (14)
X^(n/2)=2^(n-2)∙Y_4^n-Y_5^n. (15)
Разложим ф. (14) на множители.
X^(n/2)=(2^((n-2)/n)∙Y_4-Y_5 )∙(2^(((n-2)∙(n-1))/n)∙Y_4^(n-1)+⋯+Y_5^(n-1) ). (16)
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому √(n&2^(n-2) ) - число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2^n, может быть только 1.
Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и ф.(13), можно заключить, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При этом особо нужно отметить, что для √(n&2^(n-2) )=2^((n-2)/n) при нечётном n/2=2k+1, характерен следующий ряд показателей:
(n-2)/n 0/2; 4/6; 8/10; 12/14; 16/18; 20/22 ... , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению X^2+Y^2=Z^2 при 2^(0/2)=√(2^0 )=√1=1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай 2.
Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное.
Имеем:
X^n+Y^n=Z^n.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
X^2n+2∙X^n Y^n+Y^2n=Z^2n.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
Z^2n-X^2n=Y^2n+2∙X^n∙Y^n=Y^n∙(Y^n+2∙X^n ). (1)
Разложим ф. (1) на множители.
Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (2)
Z^n-X^n=Y^n. (3)
Y^n - чётное число, поэтому выразим его как 2^n∙Y_1^n.
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
Z^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n );
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n.
Примем〖 Z〗^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n ) в виде Z^n+X^n=2∙Y_2^n, при нечётном Y_2^n, поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального.
Итак, имеем:
Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (4)
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (5)
Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
Откуда:
2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n, или
Z^n=(2∙(Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n ))/2;
Z^n=Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n. (6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n.
X^n=(2∙(Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n))/2;
X^n=Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n. (7)
Преобразуем ф. (7) следующим образом: Y_2^n – X^n = 2^(n – 1)Y_1^n.
Из ф .(5) видно, что 2^(n – 1)Y_1^n =(2^n Y_1^n)/2 = (Y^n)/2. (8)
Поскольку Y^n чётное число при n > 2, то его можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, а именно: Y^n = C^2 – D^2.
Тогда ф. (8) примет вид:
2^(n – 1) Y_1^n = (2^nY_1^n)/2 = (Y^n)/2 = (C^2 – D^2)/2 = C^2/2 – D^2/2. (9)
Разложим правую часть формулы (9) на множители.
(С^2 – D^2)/2 = C^2/2 – D^2/2 = (C/2^{1/2} – D/2{1/2}) (C/2^{1/2} + D/2^{1/2}).
Как следует из разложения ф. (9) на множители, число 2^(n -1) Y_1^n невозможно разложить на целочисленные множители, следовательно нельзя представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Из ф. ф. (6) и (7) видно, что Y_2^(n ) и Y_1^n не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), а Z^n и X^n можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
〖 Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).〗_
Z^n=(Y_2+√(n&2^(n-1) )∙Y_1 )∙(Y_2^(n-1)-...+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^(n-1) ); (10)
X^n=(Y_2-√(n&2^(n-1) )∙Y_1)∙(Y_2^(n-1)+⋯+2^((n-1)^2/n) ∙Y_1^(n-1) . (11)
Итак, X^n нельзя разложить на целочисленные множители, также как и (Y^n)/2 на разность квадратов двух нечётных чисел, а значит уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.
Случай 3.
X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Кроме известного доказательства, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.
Имеется:
X^n+Y^n=Z^n. (1)
Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2∙Y^n.
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^N; где
Z^n-2∙Y^n=2^n∙Z_1^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n );
с нечётным (2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n )=a.
Тогда:
X^n-Y^n=2∙a. (2)
Поскольку n чётное по условию, то X^n-Y^n можно разложить, как разность квадратов. Пусть X^(n/2)+Y^(n/2)=2∙b, а X^(n/2)-Y^(n/2)=2∙c, поскольку X и Y нечётные числа.
Тогда:
X^n-Y^n=2∙b∙2∙c=4∙b∙c. (3)
Сравним ф. (2) и ф. (3).
2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.
Итак: доказано, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных решениях уравнения.
Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.
X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Преобразуем уравнение X^n+Y^n=Z^n, вычтя из левой и правой его частей 2〖∙Y〗^n.
Имеем:
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n ). (4)
Отметим, что 2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n - нечётное число.
Примем 2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n=Z_2^n.
Тогда ф.(4) примет вид:
X^n-Y^n=2∙Z_2^n. (5)
Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разницы квадратов X^n и Y^n:
(X^n+Y^N)∙(X^n-Y^n)=X^2n-Y^2n=2∙Z_2^n∙Z^n=2∙(〖Z_2∙Z)〗^n.
Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
2∙X^n=Z^n+2∙Z_2^n;
Выразим Z^n=2^n∙Z_3^n. Тогда:
X^n=(Z^n+2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n))/2=〖2^(n-1)∙Z〗_3^n+Z_2^n; (6)
2∙Y^n=Z^n-2∙Z_2^n;
Y^n=(Z^n-2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n))/2=〖2^(n-1)∙Z〗_3^n-Z_2^n. (7)
Рассмотрим ф. (7), где уменьшаемое в правой части (2^(n – 1) Z_3^n)/2 =(Z^n)/2, которое невозможно представить разностью квадратов двух нечётных чисел и разложить на целочисленные множители.
X^n=2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n=(√(n&2^(n-1) )∙Z_3+Z_2 )∙(2^((n-1)^2 )∙Z_3^(n-1)-...+Z_2^(n-1) ). (8)
Разложим ф. (7) на множители по формуле размножения на множители разности n-х степеней, имея в виду, что Y^n нечётное число.
Y^n=2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n=(√(n&2^(n-1)∙)Z_3-Z_2 )∙(2^((n-1)^2/n)∙Z_3^(n-1)+⋯+Z_2^(n-1) ). (9)
Из ф. (9) следует, что разложение Y^n на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.
Общий вывод: для рационального числа n≥3 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.
© С. И. Ведерников, 2018




Голосование:

Суммарный балл: 0
Проголосовало пользователей: 0

Балл суточного голосования: 0
Проголосовало пользователей: 0

Голосовать могут только зарегистрированные пользователи

Вас также могут заинтересовать работы:



Отзывы:



Нет отзывов

Оставлять отзывы могут только зарегистрированные пользователи
Логин
Пароль

Регистрация
Забыли пароль?


Трибуна сайта

Постапокалипс

Присоединяйтесь 




Наш рупор

 
Оставьте своё объявление, воспользовавшись услугой "Наш рупор"

Присоединяйтесь 











© 2009 - 2019 www.neizvestniy-geniy.ru         Карта сайта

Яндекс.Метрика
Реклама на нашем сайте

Мы в соц. сетях —  FaceBook ВКонтакте Twitter Одноклассники Инстаграм Livejournal

Разработка web-сайта — Веб-студия BondSoft