16+
Лайт-версия сайта

Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления

Изобретения / Другое / Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления
Просмотр работы:
24 июня ’2018   11:31
Просмотров: 2354

ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ
ДЕЛЕНИЯ
Доработанный вариант статьи «Решение Большой теоремы Ферма методом деления»
Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа. Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение X^2+Y^2=Z^2 является частным случаем уравнения X^n+Y^n=Z^n и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение X^n+Y^n=Z^n при n > 2 не имеет целочисленных множителей для X^n или Z^n, то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки ( 5; 12; 13 ). [2] Имеем: X^2 + Y^2 = Z^2 ↔ 5^2 + 〖12〗^2 = 〖13〗^2. Преобразуем выражение: Z^2 - X^2 = Y^2 ↔ 〖13〗^2 - 5^2=〖12〗^2. (1) Разложим ф. (1) на множители: Z+X=Y_1↔13+5=18; (2) Z-X=Y_2↔13-5=8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф. (3): 2∙Z=Y_1+Y_2↔18+8=26; откуда Z=(Y_1+Y_2)/2=(2(9+4))/2=13. (4) Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2∙X=Y_1-Y_2↔18-8=10; откуда: X=(Y_1-Y_2)/2=(2(9-4))/2=5. (5)
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2 уравнения X^n+Y^n=Z^n возможно выделение целочисленных множителей Y^n и целочисленных значений X и Z.
Произведём разложение на множители в уравнении X^n+Y^n=Z^n при n>2. Есть общий случай и три частных, как дополнение к общему. Посыл общий для всех случаев: чётное число, имеющее множителем 2^n, при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет. Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. ниже Случай 3.
Рассмотрим Общий случай доказательства.
Имеем: X^n + Y^n = Z^n. (1)
Возведём в квадрат левую и правую части ф. (1).
X^2n + 2X^n + Y^2n = Z^2n.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
Z^2n – X^2n = Y^2n + 2X^nY^n = Y^n(Y^n + 2X^n). (2)
Разложим ф. (2) на множители.
Z^n + X^n = Y^n + 2X^n; (3)
Z^n – X^n = Y^n. (4)
(Следует отметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2X^n к левой и правой частям ф. (4).)
Поскольку Y^n - чётное число, то оно должно иметь множителем минимум одно число 2^n. Поэтому выразим его как 2^n∙Y_1^n.
Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:
Z^n + X^n = 2∙(2^{n-1}∙Y_1^n + X^n); (5)
Z^n – X^n = 2^n∙Y_1^n.
Примем в ф. (5) (2^{n-1}∙Y_1^n + X^n) = Y_2^n, где Y_2^n - нечётное число, а целое положительное число можно выразить n – ой степенью другого положительного числа.
Имеется: Z^n + X^n = 2∙Y_2^n; (6)
Z^n – X^n = Y^n. (7)
Перемножим левые и правые части ф.ф. (5) и (6).
Z^2n – X^2n = 2∙Y_2^n∙Y^n = 2∙(Y_2^n∙Y^n). (8)
Примем чётное, имеющее множителем 2^n, где n≥3, число Y_2^n∙Y^n = Y_3^n. А любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n > 2, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Запишем ф. (8) следующим образом:
Z^2n – X^2n = 2∙Y_3^n. (9)
Поскольку числа Z^2n и X^2n являются квадратами чисел Z^n и X^n, то в левой части ф. (9) имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой – результат должный раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью уравнения.
Выразим Y_3^n разностью квадратов двух чисел А и В.
Y_3^n = A^2 – B^2.
Запишем ф. (9) следующим образом:
Z^2n – X^2n = 2(A^2 – B^2) = 2A^2 – 2B^2. (10)
Разложим на множители левую и правую части ф.(10).
(Z^n –X^n)(Z^n + X^n) = (√(2∙)A –√2∙B)(√2∙A +√2∙B). (11)
Как видно из ф. (11), целочисленные значения её левой части не соответствуют разложения правой части, поскольку правую часть ф (9) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение X^n + Y^n = Z^n не имеет решения в целых числах.
Приведённое доказательство приемлемо для всех трёх случаев, рассмотренных ниже.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1. Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
Имеется: X^n+Y^n=Z^n.
Преобразуем исходное уравнение: Z^n-X^n=Y^n. (1) Разложим на множители ф. (1) Z^(n/2)+X^(n/2)=Y^(n-m). (2) Z^(n/2)-X^(n/2)=Y^m. (3)
Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем 2^2, а в общем случае 2^(n-1.) Разложение на множители Z^n-X^n=Y^n при чётном n=2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда Y^(n-m) имеет множитель 2, а Y^m - 2^(n-1), и когда Y^(n-m) имеет множитель 2^(n-1), а Y^m только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф.(6) и ф.(13).
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем: 2∙Z^(n/2)=Y^(n-m)+Y^m; Z^(n/2)=(Y^(n-m)+Y^m)/2; (4) а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем: 2∙X^(n/2)=Y^(n-m)-Y^m; X^(n/2)=(Y^(n-m)-Y^m)/2. (5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел Y^(n-m) или Y^m имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2^(n-1), поскольку Y^n - число чётное и имеет множителем минимум одно число 2^n. При этом Y^(n-m) и Y^m не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также Z^n и X^n, что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому Y^(n-m) и Y^m должны состоять из различных множителей числа Y^n в той же степени, в степени n.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел Y^(n-m) или Y^m должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде: Z^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_1^n; (6) Z^(n/2)-X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_2^n; (7) имея в виду, что Y_1^n - число нечётное.
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение Z^(n/2) и X^(n/2), подставив вместо Y^(n-m) значение 2∙Y_1^n, а вместо Y^m значение 2^(n-1)∙Y_2^N.
Z^(n/2)=(2∙Y_1^n+2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n;
X^(n/2)= (2∙Y_1^n-2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n.
Итак, имеем: Z^(n/2)=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n; (8) X^(n/2) = Y_1^n - 2^(n-2)∙Y_2^n. (9)
Поскольку X^(n/2) является степенью числа X при чётном n≥4, то его можно разложить на множители. Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n–х степеней. X^(n/2)=(Y_1-√(n&2^(n-2))∙Y_2)∙(Y_1^(n-1)+⋯+2^(((n-2)∙(n-1))/n)∙Y_2^(n-1)). (10) Очевидно, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n - х степеней.
Рассмотрим ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при чётном n > 3. Z^n – X^n = Y^n. Y^n – чётное. Z^(n/2) + X^(n/2) = 2Y_1^n; (6) Y_1^n - нечётное. Z^(n/2) – X^(n/2) = 2^(n – 1)Y_2^n. (7)
При этом нужно заметить, что разложение на множители формулы Z^2 – X^2 = Y^2, соответствующее «пифагоровым тройкам», где Y^2 чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8. Любопытно однако, что чётное число этих троек кратно именно числу 4.
Рассмотрим разложение на множители ф. (7) при показателе n кратном 4 для иллюстрации «Общего случая доказательства».
Формула (7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем 2 ^(n - 1)Y_2^n следующим образом:
2^(n - 1)Y_2^n = (2^n Y_2^n)/2 = ( Y_3^n)/2.
Выразим Y_3^n разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем 2^n при n > 2 , можно хотя б один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, имеет только один множитель 2, а второй – множитель 2^(n - 1).
Пусть: Y_3^n = A^2 - B^2.
Тогда: (Y_3^n)/2 = (A^2 - B^2)/2 = A^2/2 - B^2/2. (11)
Разложим ф. (11) на множители:
A^2/2 - B^2/2 = (A/√2 - B/√2)∙(A/√2 + B/√2). (12)
Z^(n/2) – X^(n/2) = (Z^{n/4} – X^{n/4})(Z^{n/4} + X^{n/4}) ≠ (A/√(2 ) - B/√2)(A/√2 + B/√2), (12a)
Из ф.ф. (12) и (12а) можно сделать вывод, что ф. (7), а также уравнение X^n + Y^n = Z^n при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.
Допустим: Z^(n/2)+X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_4^n; (13) Z^(n/2) - X^(n/2)=2∙Y_5^n. (14)
Очевидно, что ф. (14) не имеет целочисленных решений при n кратных 4, поскольку левая часть уравнения имеет множителем минимум 2^3, а правая только 2 при нечётном Y_5^n.
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень иррациональное число. [3] Поэтому √(n&2^(n-2) ) - число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2^n, может быть только 1.
Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и ф.(13), можно заключить, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При этом особо нужно отметить, что для √(n&2^(n-2) )=2^((n-2)/n) при нечётном n/2=2k+1, характерен следующий ряд показателей:
(n-2)/n 0/2; 4/6; 8/10; 12/14; 16/18; 20/22 ... , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению X^2+Y^2=Z^2 при 2^(0/2)=√(2^0 )=√1=1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай 2. Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное. Имеем: X^n+Y^n=Z^n.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат. X^2n+2∙X^n Y^n+Y^2n=Z^2n.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
Z^2n-X^2n=Y^2n+2∙X^n∙Y^n=Y^n∙(Y^n+2∙X^n ). (1)
Разложим ф. (1) на множители.
Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (2)
Z^n-X^n=Y^n. (3)
Y^n - чётное число, поэтому выразим его как 2^n∙Y_1^n.
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
Z^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n );
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n.
Примем Z^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n ) в виде Z^n+X^n=2∙Y_2^n, при нечётном Y_2^n, поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа.
Итак, имеем:
Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (4)
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (5)
( См. Общий случай для ф.ф. (4) и (5).)
Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
Откуда:
2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n, или
Z^n=(2∙(Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n ))/2;
Z^n=Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n. (6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n.
X^n=(2∙(Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n))/2;
X^n=Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n. (7)
Из ф. ф. (6) и (7) видно, что Y_2^(n ) и Y_1^n не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), а Z^n и X^n можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
〖 Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).〗_
Z^n=(Y_2+√(n&2^(n-1) )∙Y_1 )∙(Y_2^(n-1)-...+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^(n-1)); (8)
X^n=(Y_2-√(n&2^(n-1) )∙Y_1)∙(Y_2^(n-1)+⋯+2^((n-1)^2/n) ∙Y_1^(n-1)) . (9)
Итак, X^n нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.
Случай 3.
X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Кроме известного доказательства, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.
Имеется:
X^n+Y^n=Z^n. (1)
Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2∙Y^n.
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n; где
Z^n-2∙Y^n=2^n∙Z_1^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n);
с нечётным (2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n)=a.
Тогда:
X^n-Y^n=2∙a. (2)
Поскольку n чётное по условию, то X^n-Y^n можно разложить, как разность квадратов. Пусть X^(n/2)+Y^(n/2)=2∙b, а X^(n/2)-Y^(n/2)=2∙c, поскольку X и Y нечётные числа.
Тогда:
X^n-Y^n=2∙b∙2∙c=4∙b∙c. (3)
Сравним ф. (2) и ф. (3).
2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.
Итак: доказано, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных решениях уравнения.
Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.
X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Преобразуем уравнение X^n+Y^n=Z^n, вычтя из левой и правой его частей 2∙Y^n.
Имеем:
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n ). (4)
Отметим, что (2^(n-1)∙Z_1^n - Y^n) - нечётное число.
Примем 2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n=Z_2^n.
Тогда ф.(4) примет вид:
X^n-Y^n=2∙Z_2^n. (5)
Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разности квадратов X^n и Y^n:
(X^n+Y^N)∙(X^n-Y^n)=X^2n-Y^2n = 2∙ Z_2^n∙Z^n = 2∙(Z_2∙Z)^n. Или:
X^2n – Y^2n = 2∙(Z_2∙Z)^n. (6) ( См. Общий случай.)
Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
2∙X^n=Z^n+2∙Z_2^n;
Выразим Z^n=2^n∙Z_3^n. Тогда:
X^n=(Z^n+2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n))/2=2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n; (7)
2∙Y^n=Z^n-2∙Z_2^n;
Y^n=(Z^n-2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n))/2=〖2^(n-1)∙Z〗_3^n-Z_2^n. (8)
Разложим ф. (7) по формуле разложения на множители суммы n – х степеней при нечётном n.
X^n=2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n=(√(n&2^(n-1) )∙Z_3+Z_2 )∙(2^((n-1)^2 )∙Z_3^(n-1)-...+Z_2^(n-1) ). (9)
Разложим ф. (8) на множители по формуле размножения на множители разности n-х степеней, имея в виду, что Y^n нечётное число.
Y^n=2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n=(√(n&2^(n-1)∙)Z_3-Z_2 )∙(2^((n-1)^2/n)∙Z_3^(n-1)+⋯+Z_2^(n-1) ). (10)
Из ф.ф. (9) и (10) следует, что разложение X^n и Y^n на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.
Общий вывод: для рационального числа n≥3 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.





Голосование:

Суммарный балл: 0
Проголосовало пользователей: 0

Балл суточного голосования: 0
Проголосовало пользователей: 0

Голосовать могут только зарегистрированные пользователи

Отзывы:



Нет отзывов

Оставлять отзывы могут только зарегистрированные пользователи
Логин
Пароль

Регистрация
Забыли пароль?


Трибуна сайта





Наш рупор

 
ЗАЧЕМ ТОМИШЬ ПЕЧАЛЬЮ! ПЕСНЯ!
ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ, ДРУЗЬЯ!
https://www.neizvestniy-geniy.ru/cat/music/romans/2045250.html?author


Присоединяйтесь 











© 2009 - 2019 www.neizvestniy-geniy.ru         Карта сайта

Яндекс.Метрика
Реклама на нашем сайте

Мы в соц. сетях —  FaceBook ВКонтакте Twitter Одноклассники Инстаграм Livejournal

Разработка web-сайта — Веб-студия BondSoft