16+
Лайт-версия сайта

Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления

Изобретения / Другое / Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления
Просмотр работы:
14 июля ’2019   12:15
Просмотров: 1230

ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ
Ведерников Сергей Иванович – пенсионер.
г. Москва
Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения на целочисленные множители в уравнении при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.
THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION Vedernikov S.I.
Vedernikov Sergey Ivanovich – Retired.
Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of and for integer multipliers in the equation when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat’s Great Theorem. Division method.
УДК 512.1
Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n+Y^n= Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа. Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение X^2+Y^2=Z^2 является частным случаем уравнения X^n+Y^n=Z^n и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение X^n+Y^n=Z^n при n > 2 не имеет целочисленных множителей для X^n или Z^n, то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2] Имеем: X^2+Y^2=Z^2↔5^2+〖12〗^2= 〖13〗^2. Преобразуем выражение: Z^2-X^2=Y^2 ↔ 〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (1) Разложим ф. (1) на множители: Z + X = Y_1↔13 + 5 = 18; (2) Z – X = Y_2↔13 – 5 = 8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф. (3): 2∙Z = Y_1+Y_2↔18 + 8 = 26; откуда Z = (Y_1+Y_2)/2 = (2(9+4))/2 = 13. (4) Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2∙X = Y_1-Y_2 ↔18 – 8 = 10; откуда: X = (Y_1-Y_2)/2 = (2(9-4))/2 = 5. (5)
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в некоторых случаях при n = 2 уравнения X^n+ Y^n=Z^n возможно выделение целочисленных множителей Y^n и целочисленных значений X и Z.
Произведём разложение на множители в уравнении X^n+Y^n=Z^n при n>2. Есть общий случай и три частных, как дополнение к общему. Посыл общий для всех случаев: чётное число, имеющее множителем 2^n, при n ≥ 3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел. При этом очень просто показать, что сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а второе – минимум 2^2, а в общем случае 2^(n-1), где 2∙2^(n-1) = 2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Особое место относительно этого утверждения занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа простейшей Пифагоровой тройки, обязательно имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. Т. е. случаи целочисленных решений уравнения X^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Что и показано в водной части.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет. Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. ниже Случай 3.
Рассмотрим «Общий случай» доказательства.
Имеем: X^n + Y^n = Z^n. (1)
Возведём левую и правую части формулы в квадрат.
X^2n + 2∙X^n∙Y^n + Y^2n = Z^2n.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
Z^2n-X^2n = Y^2n + 2∙X^n∙Y^n = Y^n∙(Y^n+2∙X^n ). (2)
Разложим ф. (2) на множители.
Z^n + X^n = Y^n + 2∙X^n; (3)
Z^n – X^n = Y^n. (4)
Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2∙X^n к левой и правой частям формулы (4). Этот момент проиллюстрируем на примере Пифагоровой тройки (3, 4, 5), а именно: Z^2-X^2=Y^2↔5^2-3^2=4^2. Где Z-X=Y_1↔5-3=2 и Z+X=Y_1↔5+3=8,при Y_1∙Y_2=Y^2.
Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:
Z^n+X^n=2∙(2^((n-1) )∙Y_1^n+X^n );
Z^n-X^n =〖 2〗^n∙Y_1^n.
Предположим, что (2^((n-1) )∙Y_1^n+X^n)=Y_2^n, где Y_2 целое нечётное число в степени n, возможность чего будет показана ниже.
Итак: Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (5) Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (6)
Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:
2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n или Z^n=2∙(Y_2^n+2^((n-1) )∙Y_1^n)/2; Z^n=Y_2^n+2^((n-1))∙Y_1^n. (7)
Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем:
2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n или X^n=2∙(Y_2^n-2^((n-1))∙Y_1^n)/2; X^n=Y_2^n-2^((n-1) )∙Y_1^n. (8)
Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условие о взаимной простоте Z и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах Y_2^n и 2^((n-1))∙Y_1^n. Поэтому множители этих чисел должны быть в степени n.
Рассмотрим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Z = 13, X = 5, Y = 12, ещё раз.
Имеем: X^2+Y^2=Z^2↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. (1a)
Преобразуем ф. (1). 〖 Z〗^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (2a)
Разложим ф. (1) на множители.
Z+X=Y_1↔13+5=18. (3a) Z-X=Y_2↔13-5=8. (4a)
Сложим почленно ф. (3а) и ф. (4а).
2∙Z=Y_1+Y_2↔18+8=26; Z=(Y_1+Y_2)/2=2∙(9+4)/2. (5a)
Вычтем почленно ф. (4а) из ф. (3а).
2∙X=Y_1-Y_2↔18-8=10; X=(Y_1-Y_2)/2=2∙(9-4)/2. (6a)
Очевидно, что ф. (5а) и ф. (6а) идентичны ф. (7) и ф. (8), а сумма и разность ф. (5а) и ф. (6а) (9 + 4) и (9 – 4) составлены квадратами чисел 3 и 2. При этом нужно заметить, что это общее свойство всех, по крайней мере, простейших пифагоровых троек. Это показывает правомерность предположения о целом Y_2 в степени n.
Рассмотрим разложение на множители числа 6^3. Нужно заметить, что разложение на множители чётного числа в степени n > 2 возможно двумя способами. 1 – ый способ – когда множители кроме чисел 2 и 2^( n-1) имеют ещё один или несколько общих делителей. 2 – ой способ – когда множители разложения не имеют общих делителей кроме числа 2, то есть один из них имеет множителем число 2, а другой 2^(n-1). Именно этот способ рассматривается в доказательстве, т. к. предполагает взаимную простоту чисел X, Y, Z, что показано ф. (7) и ф. (8).
Разложим число 6^3 в соответствии со вторым способом разложения, а именно: 6^3=54∙4=(2∙27)∙(2^2∙1^3 )=(2∙3^3)∙(2^2∙1^3).
Итак, число 54 содержит только один множитель 2, т.е. (2 ∙27), а число 4 можно представить как 2^((3-1)).
Выразим 6^3 разностью квадратов двух нечётных чисел. Сложим множители 54 и 4: 54 + 4 = 58. Найдём среднеарифметическое: 58  : 2 = 29. Вычтем из 29 число 4: 29 – 4 = 25. Имеем два числа, разность квадратов которых есть число 6^3. 6^3=〖29〗^2-〖25〗^2=(29+25)∙(29-25)=54∙4.
Согласно ф. (7) имеем:
29=(2∙27+4)/2=2∙(27+2)/2=3^3+2∙1^3.
Согласно ф. (8) имеем:
25=((2∙27-4))/2=2∙(27-4)/2=3^3-2∙1^3.
Для большей убедительности можно рассмотреть разложение на множители числа 〖12〗^3.
〖12〗^3=54∙32=(2∙27)∙(4∙8)=(2∙3^3 )∙(2^2∙2^3 ).
Отсюда можно сделать вывод о том, что это общее правило разложения на множители по формуле разности квадратов двух нечётных чисел любого чётного числа в степени n при n > 2, если множители разложения не имеют общего делителя, кроме чисел 2 и 2^(n-1), т. е. вторые составляющие этих множителей должны быть в степени n.
Итак, предположение о возможности целого Y_2 обосновано. Но даже если 〖 Y〗_2^n есть степень дробного положительного числа, то и это обстоятельство не отвергает дальнейшее доказательство, заключающееся в возможности разложения Z^n и X^n на целочисленные множители.
Рассмотрим ф. (7) и ф. (8).
Разложение Z^n и X^n на целочисленные множители невозможно по ф. (7), и по ф. (8), поскольку невозможно разложить правую часть ф. (8) на целочисленные множители по формуле разложения разности n – х степеней, а правую часть ф. (7) на целочисленные множители по формуле суммы n – х степеней при n=2k+1. (Cм. Подробнее ф. (8) и ф. (9) Случай 2.) Между тем, разложение Z^2 и X^2 на целочисленные Z и X в формуле X^2+Y^2=Z^2 имеет конкретное значение, как показано выше.
Выполним разложение ф. (7) и ф. (8) их правой части по указанным параметрам.
Имеем: Z^n=Y_2^n+2^((n-1))∙Y_1^n; X^n=Y_2^n-2^((n-1) ).
Z^n=(Y_2+√(n&2^((n-1) ) )∙Y_1)(Y_2^((n-1) )-…+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^((n-1) )). (9)
〖 X〗^n=(Y_2-√(n&2^((n-1) ) )∙Y_1 )(Y_2^((n-1) )+⋯+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^((n-1) )). (10)
Как видно из ф. (9) и ф. (10) множители правой их частей иррациональны. При этом нужно помнить, что число Y_2^n нечётное. Следовательно, целочисленные решения уравнения (1) невозможны.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1. Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
Имеется: X^n+Y^n=Z^n.
Преобразуем исходное уравнение: Z^n-X^n=Y^n. (1) Разложим на множители ф. (1). Z^(n/2)+X^(n/2) =Y^((n-m)). (2) Z^(n/2)-X^(n/2)=Y^m. (3)
Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Как показано ранее, сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое – множителем минимум 2^2, Разложение на множители Z^n-X^n=Y^n при чётном n = 2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда Y^((n-m)) имеет множитель 2, а Y^m множитель 2^((n-1)), и когда Y^((n-n)) имеет множитель 2^((n-1)), а Y^m только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф. (6) и ф. (13)).
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем: 2∙Z^(n/2) =Y^((n-m))+Y^m; Z^(n/2) = (Y^((n-m))+Y^m)/2; (4) а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем: 2∙X^(n/2) = Y^((n-m))-Y^m; X^(n/2) = (Y^((n-m))-Y^m)/2. (5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел Y^((n-m)) или Y^m имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2^((n-1)), поскольку Y^n- число чётное и имеет множителем минимум одно число 2^n. При этом Y^((n-m)) и Y^n не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также Z^n и X^n, что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому Y^((n-m)) и Y^m должны состоять из различных множителей числа Y^n в той же степени, в степени n, если исходить из предположения, что исходное уравнение имеет целочисленные решения.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел Y^((n-m)) или 〖 Y〗^m должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде: Z^(n/2)+X^(n/2) = 2∙Y_1^n; (6) Z^(n/2)-X^(n/2) = 2^((n-1))∙Y_2^n; (7) имея в виду, что Y_1^n - число нечётное.
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение 〖 Z〗^(n/2) и X^(n/2), подставив вместо Y^((n-m)) значение 2∙Y_1^n, а вместо Y^m значение 2^((n-1))∙Y_2^n.
Z^(n/2) = (2∙Y_1^n+2^((n-1))∙Y_2^n)/2 = Y_1^n + 2^((n-2))∙Y_2^n; (8)
X^(n/2) = (2∙Y_1^n-2^((n-1))∙Y_2^n)/2 = Y_1^n-2^((n-2))∙Y_2^n. (9)
Поскольку X^(n/2) является степенью числа X при чётном n ≥ 4, то его можно разложить на множители. Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n–х степеней. X^(n/2) = (Y_1 - √(n&2^((n-2)) )∙Y_2)∙(Y_1^((n-1)) + ⋯ +2^(((n-2)(n-1))/n)∙Y_2^((n-1))). (10) Очевидно, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n - х степеней.
Рассмотрим ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при чётном n > 3. Z^n – X^n = Y^n. Y^n – чётное. Z^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_1^n; (6) Y_1^n - нечётное. Z^(n/2)-X^(n/2)=2^((n-1) )∙Y_2^n; (7)
Нужно заметить, что разложение на множители формулы Z^2-X^2=Y^2, соответствующее «пифагоровым тройкам», где Y^2 - чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8, при этом чётное число этих троек кратно именно числу 4.
Рассмотрим разложение на множители ф. (7) при показателе n кратном 4 для иллюстрации «Общего случая доказательства».
Формула (7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем 2^((n-1))∙Y_2^n следующим образом:
2^((n-1))∙Y_2^n = (2^n∙Y_2^n)/2 = (Y_3^n)/2.
Выразим Y_3^n разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем 2^2 при n > 2 , можно хотя бы один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, имеет только один множитель 2, а второй – множитель 2^((n-1)).
Пусть: Y_3^n = A^2-B^2.
Тогда: (Y_3^n)/2 = (A^2-B^2)/2 = A^2/2-B^2/2 . (11)
Разложим ф. (11) на множители:
A^2/2-B^2/2=(A/√2-B/√2)(A/√2+B/√2). (12)
Z^(n/2)-X^(n/2) = (Z^(n/4) – X^(n/4))(Z^(n/4) + X^(n/4)) ≠ (A/√2 - B/√2)(A/√2 + B/√2), (12a)
Из ф .ф. (12) и (12а) можно сделать вывод, что ф. (7), а также уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.
Допустим: Z^(n/2)+X^(n/2)=2^((n-1))∙Y_4^n; (13) 〖 Z〗^(n/2)-X^(n/2)=2∙Y_5^n. (14)
Очевидно, что ф. (14) не имеет целочисленных решений при n кратных 4, поскольку левая часть уравнения имеет множителем минимум 2^3, а правая только 2 при нечётном Y_5^n.
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень иррациональное число. [3] Поэтому √(n&2^((n-2)) )- число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2^n, может быть только 1.
Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и ф.(13), можно заключить, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При этом особо нужно отметить, что для √(n&2^((n-2)) )=2^(((n-2))/2) при нечётном (n )/2 = 2k+1, характерен следующий ряд показателей: ((n-2))/n 0/2; 4/6 ;8/10;12/14;16/18;20/22… , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению X^2+Y^2=Z^2 при 〖 2〗^(0/2) = √2^0 = √1 = 1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай 2. Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное. Имеем: X^n+Y^n=Z^n.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат. X^2n+2∙X^n∙Y^n+Y^2n=Z^2n.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
Z^2n-X^2n =Y^2n+2∙X^n∙Y^n=Y^n (Y^n+2∙X^n). (1)
Разложим ф. (1) на множители.
Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (2)
Z^n-X^n=Y^n. (3)
Y^n - чётное число, поэтому выразим его как 2^n∙Y_1^n.
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
Z^n+X^n=2∙(2^((n-1) )∙Y_1^n+X^n);
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n.
Примем Z^n+X^n=2∙(2^((n-1) )∙Y_1^n+X^n) в виде Z^n+X^n=2∙Y_2^n, при нечётном Y_2^n, возможность чего показана в «Общем случае», а также поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа, пусть даже дробного.
Итак, имеем:
Z^n+ X^n=2∙Y_2^n; (4)
Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (5)
( См. Общий случай для ф.ф. (4) и (5).)
Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
Откуда:
2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n, или
Z^n=2∙(Y_2^n+2^((n-1) )∙Y_1^n)/2;
Z^n=Y_2^n+2^((n-1))∙Y_1^n. (6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n.
X^n=2∙(Y_2^n-2^((n-1) )∙Y_1^n)/2;
X^n=Y_2^n-2^((n-1))∙Y_1^n. (7)
Из ф. ф. (6) и (7) видно, что Y_2^n и Y_1^n не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), т. е. Z^n и X^n, можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).
Z^n=(Y_2+√(n&2^((n-1) ) )∙Y_1)(Y_2^((n-1) )-…+2^(〖(n-1)〗^2/n)∙Y_1^((n-1)); (8)
X^n=(Y_2 -√(n&2^((n-1)) )∙Y_1)(Y_2^((n-1) )+⋯+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^((n-1) )). (9)
Итак, X^n нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.
Случай 3.
X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Кроме известного доказательства, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.
Имеется:
X^n+Y^n=Z^n. (1)
Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2∙Y^n.
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n; где
Z^n-2∙Y^n=2^n∙Z_1^n-2∙Y^n=2∙(2^((n-1) )∙Z_1^n-Y^n);
с нечётным (2^((n-1) )∙Z_1^n-Y^n) = a.
Тогда:
X^n-Y^n = 2∙a. (2)
Поскольку n чётное по условию, то X^n-Y^n можно разложить, как разность квадратов. Пусть X^(n/2)+Y^(n/2)=2∙b, а X^(n/2)-Y^(n/2)=2∙c, поскольку X и Y нечётные числа.
Тогда:
X^n-Y^n= 2∙b∙2∙c = 4∙b∙c. (3)
Сравним ф. (2) и ф. (3).
2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.
Итак: доказано, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных решениях уравнения.
Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.
X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Преобразуем уравнение X^n+Y^n=Z^n, вычтя из левой и правой его частей 2∙Y^n.
Имеем:
X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n=2∙(2^((n-1) )∙Z_1^n-Y^n). (4)
Отметим, что (2^((n-1))∙Z_1^n-Y^n) - нечётное число.
Примем 2^((n-1))∙Z_1^n-Y^n=Z_2^n.
Тогда ф.(4) примет вид:
X^n-Y^n=2∙Z_2^n. (5)
Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разности квадратов X^n и Y^n:
(X^n+Y^n)(X^n-Y^n )=X^2n-Y^2n= 2∙ Z_2^n∙Z^n=2∙〖(Z_2∙Z)〗^n. (6) ( См. Общий случай.)
Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
2∙X^n=Z^n+2∙Z_2^n.
Выразим Z^n=2^n∙Z_3^n. Тогда:
X^n=(Z^n+2∙Z_2^n)/2 = 2∙(2^((n-1) )∙Z_3^n-Z_2^n)/2 = 2^((n-1))∙Z_3^n+Z_2^n; (7)
2∙Y^n=Z^n-2∙Z_2^n;
Y^n =(Z^n-2∙Z_2^n)/2= 2∙(2^((n-1) )∙Z_3^n-Z_2^n)/2 = 2^((n-1)) 2∙Z_3^n-Z_2^n. (8)
Разложим ф. (7) по формуле разложения на множители суммы n – х степеней при нечётном n. X^n=2^((n-1))∙Z_3^n+Z_2^n=(√(n&2^((n-1) ) )∙Z_3+Z_2 )(2^((n-1)^2 )∙Z_3^((n-1) )-…+Z_2^((n-1) ) ). (9)
Разложим ф. (8) на множители по формуле размножения на множители разности n-х степеней, имея в виду, что Y^n нечётное число.
Y^n=2^((n-1)) Z_3^n-Z_2^n=(√(n&2^((n-1) ) )∙Z_3-Z_2)(2^((n-1)^2/n) Z_3^((n-1) )+⋯+ Z_2^((n-1))). (10)
Из ф.ф. (9) и (10) следует, что разложение X^n и Y^n на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.
Общий вывод: для рационального числа n≥3 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.

Список литературы:
Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦИМО, 2000 г.
Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959 г.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984 г.
© С. И. Ведерников, 2018





Голосование:

Суммарный балл: 0
Проголосовало пользователей: 0

Балл суточного голосования: 0
Проголосовало пользователей: 0

Голосовать могут только зарегистрированные пользователи

Вас также могут заинтересовать работы:



Отзывы:



Нет отзывов

Оставлять отзывы могут только зарегистрированные пользователи
Логин
Пароль

Регистрация
Забыли пароль?


Трибуна сайта





Наш рупор

 
Я ВИЖУ, КАК ЖЕСТОКИЙ МИР... Исполнение: Вадим Кудряшов.
https://www.neizvestniy-geniy.ru/cat/films/music_clip/2113302.html?author


Присоединяйтесь 











© 2009 - 2019 www.neizvestniy-geniy.ru         Карта сайта

Яндекс.Метрика
Реклама на нашем сайте

Мы в соц. сетях —  FaceBook ВКонтакте Twitter Одноклассники Инстаграм Livejournal

Разработка web-сайта — Веб-студия BondSoft