Разность квадратов нечётных чисел, пифагоровы тройки и доказательство гипотезы Била

Разность квадратов нечётных чисел,
пифагоровы тройки и доказательство гипотезы Била
Ведерников Сергей Иванович. Москва.
Аннотация. Цель работы – закрыть проблему целочисленных решений уравнения A^x+B^y=C^z, то есть доказать гипотезу Била. Для решения вопроса применена особенность выражения чётного числа, имеющего множитель 8, разностью квадратов двух нечётных чисел, обоснованное правило которой отсутствует даже в справочной литературе, а также особенность целочисленных решений квадратного уравнения Пифагоровыми тройками. В результате доказана гипотеза Била простым методом.
Ключевые слова: разность квадратов двух нечётных чисел, разложение на множители, чётные числа, нечётные числа, пифагоровы тройки.
Difference of squares of odd numbers,
Pythagorean triples and the proof of Beale's hypothesis
Vedernikov Sergey Ivanovich. Moscow.
Annotation. The aim of the paper is to close the problem of integer solutions of the equation A^x+B^y=C^z, i.e. to prove Beale's hypothesis. In order to solve the problem, the peculiarity of expressing an even number having a multiplier 8 by the difference of squares of two odd numbers, a reasonable rule of which is absent even in the reference literature, as well as the peculiarity of integer solutions of the quadratic equation by Pythagoras triples, is applied. As a result, Beale's conjecture is proved by a simple method.
Keywords: difference of squares of two odd numbers, decomposition into multipliers, even numbers, odd numbers, Pythagorean triples.
Начало формы

Гипотеза Била.
Доказать: уравнение A^x+B^y=C^z (1) не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимно простых целых числах A,B,C, если x, y, z≥3.
Доказательство.
Посыл. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n ≥ 3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Чётное число при n≥3 содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, второе – минимум 2^2, а в общем случае 2^((n-1))∙k^n, где 2∙2^((n-1))=2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим детальнее.
Имеется два нечётных числа: (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1).
Сумма этих чисел есть (2∙k_1+1+2∙k_2+1)=2∙(k_1+k_2+1).
Где 2∙(k_1+k_2+1) - «сумма» в дальнейшем.
А разность - (2∙k_1+1-2∙k_2-1)=2∙(k_1-k_2 ).
Где 2∙(k_1-k_2) - «разность» в дальнейшем.
Поскольку k_(1 )и k_2 могут быть любой чётности, рассмотрим все возможные случаи их сочетаний.
Случай 1. k_1>k_2 - чётные.
Рассмотрим формулу «суммы», где k_1=2∙k_3, а k_2=2∙k_4.
2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1).
Итак, сумма нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_(1 )и k_2 имеет только один множитель 2.
Рассмотрим формулу «разности» при чётных k_1=2∙k_3 и k_2=2∙k_4 . 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4∙(k_3-k_4) .
Следовательно, разность нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_1 и k_2 содержит множитель минимум число 4.
Случай 2. k_1 и k_2 – нечётные, k_1=(2∙k_3+1); k_2=(2∙k_4+1). «Сумма» выглядит так: 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+1+2∙k_4+1+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+3). Сумма в этом случае имеет множитель только одно число 2.
Рассмотрим формулу «разности»: 2∙(k_1-k_2 )=2(2∙k_3+1-2∙k_4-1)=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4(k_3-k_4) . То есть разность содержит множителем минимум число 4.
Случай 3. k_1-чётное,k_2-нечётное. k_1=2〖∙k〗_3; k_2=(2∙k_4+1). «Сумма»: 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1+1)=4∙(k_3+k_4+1) . Множитель суммы - минимум число 4.
«Разность»: 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4-1). Множитель – одно число 2.
Случай 4. k_1 – нечётное (2∙k_3+1); 〖 k〗_2-чётное (2∙k_4). «Сумма»: 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+1+2∙k_4+1)=4∙(k_3+k_4+1). Множитель - минимум число 4.
«Разность»: 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3+1-2∙k_4 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4+1). Множитель – одно число 2.
Итак, посыл обоснован.
Особое место при этом занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. То есть случаи целочисленных решений уравнения〖 X〗^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Нужно сказать, что формула X^2+Y^2=Z^2 для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: X^2+2^4∙Y_1^2=Z^2, подразумевая Y чётным числом, а именно: Y=2^2∙Y_1. (2)
Рассмотрим тройку (5, 12, 13), где квадратное уравнение для неё при чётном Y^2=4^2∙Y_1^2=2^4∙Y_1^2=2^2∙2^2∙Y_1^2=2^2∙2^2∙3^2 такое:
Z^2-X^2=Y^2=2^2∙2^2∙3^2. (1a)
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целых чисел Z, X.
Имеем: X^2+Y^2 = Z^2 ↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. Преобразуем данное выражение и разложим на множители. [1]
Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (2a)
Z+X=Y_1 ↔13+5=2∙3^2; (3a) Z - X=Y_2 ↔13-5= 2∙2^2. (4a)
Сложим левые части, отдельно, и правые, отдельно, ф. (3a) и ф. (4a).
2∙Z=Y_1+Y_2↔2∙3^2+2∙2^2=26, Z=(Y_1+Y_2)/2=3^2+2^2=13. (5a)
Вычтем левую часть ф. (4a) из левой части ф. (3a), а правую – из правой.
2∙X=Y_1-Y_2↔2∙3^2-2∙2^2=10, X=(Y_1-Y_2)/2=3^2-2^2=5. (6a)
Из рассмотренного выше нужно отметить несколько моментов. Первое, разложение на множители Y^2 соответствует «посылу». (См. (3a) и (4a)). Второе, нечётные числа Z и X являются половиной суммы множителей и половиной разности множителей числа Y^n. (См. (5a) и (6a)). Третье, Y^2 в уравнении (1a) имеет три квадратных множителя, и один из них 2^2 исчезает в процессе выделения нечётных чисел, выраженных в итоге полным нечётным множителем и чётным множителем делённым на 2^2. (См. уравнения (5a) и (6a).) Четвёртое, нечётные числа Z и X выражены суммой и разностью квадратов целых чисел, т. е. числами 3^2 и 2^2, а не сочетаниями квадратов чисел 3 и 4. (См. (5a) и (6a)).
Гипотеза Била.
Доказать: уравнение A^x+B^y=C^z не имеет решений в целых числах.
Пусть C > A > B. Определимся с чётностью чисел A, B и C. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть A и C нечётные числа, а B чётное число, поскольку особой разницы между числами A и B нет.
Вариантов разложения чётного числа в степени n≥3 по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, удовлетворяющих этому условию. Однако для нашего случая возможен только вариант такого разложения, где множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2. То есть сопутствующие коэффициентам 2 и 2^((n-1)) множители должны быть в степени n при соблюдении условия о взаимно простых A, B, C. И это главное условие разложения на множители чётного числа по формуле разности квадратов двух нечётных чисел. (Здесь надо заметить, что значения коэффициентов множителей разложения в разных случаях могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства.)
Выведем общую формулу разложения на множители чётного числа в степени n > 2 разностью квадратов двух нечётных чисел.
c^n=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(2∙c_1^n)∙〖(2〗^((n-1) )∙c_2^n). (3)
Здесь a и b нечётные числа, c^n - чётное число, n > 2.
Примем B^y=c^n, а уравнение (3) для большей наглядности выразим так:
C^z-A^x=B^y=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(2∙B_1^y )∙(2^((y-1) )∙B_2^y ). (3b)
a+b=2∙B_1^y ; (4) a-b=2^((y-1))∙B_2^y . (5)
Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части уравнений (4) и (5).
2∙a=2∙B_1^y+2^((y-1))∙B_2^y , a=B_1^y+2^((y-2))∙B_2^y . (6)
Вычтем левую часть уравнения (5) из левой части уравнения (4), а правую часть уравнения (5) из правой части уравнения (4).
2∙b=2∙B_1^y-2^((y-1))∙B_2^y , b=B_1^y-2^((y-2))∙B_2^y . (7)
При выделении нечётных чисел a и b множители B^y (a+b) и (a-b) потеряли по одному числу 2. ( См. (4) и (5)). То есть чётное число уравнения (3b) в нечётных множителях потеряло множитель 2^2. (См. (6) и (7)).
При разложении на множители чётного числа и выделении нечётных чисел квадратного уравнения с пифагоровой тройкой чётное число теряет множитель 2^2, между тем как нечётные числа Z и X остаются целыми и выражены суммой и разностью квадратов (см. (5а) и (6а)). При разложении же на множители и выделении нечётных чисел уравнения (3) для n > 2 чётное число также теряет множитель 2^2, оставляя во втором множителе чётного числа остаток 2^((n-2)) (см. (6) и (7)). То есть нечётные числа представлены в первом случае суммой полного нечётного множителя и неполного чётного множителя, а во втором случае разностью полного нечётного множителя и неполного чётного множителя.
В этом суть противоречия, где в уравнении 5^2+〖12〗^2=〖13〗^2 чётное число 〖12〗^2 можно выразить разностью квадратов нечётных чисел, объясняется особой ролью его множителя 4, квадрат которого позволяет это сделать теряя при том множитель 2^2. Представим уравнение (2а) в следующем виде:
Z^2-X^2=2^2∙Y_1^2=4^2∙3^2=2^2∙(2^2∙3^2 )=(2∙3^2)∙(2∙2^2) .
Здесь Z и X выражены не сочетанием множителей 3^2 и 4^2, а суммой и разностью чисел 3^2 и 2^2. (См. (5а) и (6а)).
Рассмотрим уравнение (3b) в следующем виде, умножив исходное чётное число B^y на 2^2 и обозначив множители разложения.
2^2∙B^y=(2∙B_1^y)∙(2^2∙2^((y-1) )∙B_2^y)=(2∙B_1^y )∙(2^((y+1) )∙B_2^y )=(2∙B_1^y )∙(2∙B_3^y ).
2^2∙B^y=(a_1^2-b_1^2)=(a_1+b_1 )∙(a_1-b_1 )=(2∙B_1^y )∙(2∙B_3^y ). (8)
(a_1+b_1 )=(2∙B_1^y) ; (9) (a_1-b_1 )=(2∙B_3^y) ; (10)
В соответствии с уравнением (3) B_1^y нечётное число, а B_3^y – чётное.
Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части уравнений (9) и (10).
2∙a_1=2∙B_1^y+2∙B_3^y; a_1=2∙(B_1^y+B_3^y)/2=B_1^y+B_3^y. (11)
Вычтем левую часть уравнения (10) из левой части уравнения (9), а правую часть из правой.
2∙b_1=2∙B_1^y-2∙B_3^y; b_1=2∙(B_1^y-B_3^y)/2=B_1^y-B_3^y. (12)
Сравним множители (6) и (7), относящиеся к уравнению (3), и множители (11) и (12) уравнения (8).
a=B_1^y+2^((y-2))∙B_2^y . (6) b=B_1^y-2^((y-2))∙B_2^y . (7)
a_1=B_1^y+B_3^y. (11) b_1=B_1^y-B_3^y. (12)
Как видно, второе слагаемое в уравнениях (6) и (7) лишилось множителя 2^2 и поэтому нечётные числа a и b выражены неполной суммой и неполной разностью степеней.
Между тем нечётные числа уравнения (8) при числе B^y умноженном на 2^2 выражаются суммой и разностью полных (y) степеней множителей числа B^y.
В подтверждение произведём разложение на множители по формуле разности квадратов нечётных чисел числа 〖12〗^3.
〖12〗^3=3^3∙4^3=3^3∙〖(2〗^3∙2^3)=(〖2∙3〗^3 )∙(2^2∙2^3 )=54∙32.
Здесь по ф. (3) (a+b)=(2∙3^3 ), (a-b)=(2^2∙2^3 ).
Согласно уравнениям (5а) и (6а) одно нечётное число равно половине суммы множителей чётного числа, а второе - половине разности множителей.
b= ((2∙3^3-2^2∙2^3 ))/2=3^3-2∙2^3=11. a= (2∙3^3+2^2∙2^3)/2=3^3+2∙2^3=43. (13)
〖12〗^3=〖43〗^2-〖11〗^2=(43+11)(43-11)=(2∙3^3 )(2^2∙2^3 ). Для сравнения разложим на множители число 2^2∙〖12〗^3 и выделим его нечётные числа, соответствующие уравнению (8).
2^2∙〖12〗^3=2^2∙3^3∙4^3=(2∙3^3 )∙(2∙4^3 );
В соответствии с ф. (9) и (10): (a+b)=2∙4^3; (a-b)=2∙3^3.
А с ф. (11) и (12): b_1=(2∙4^3-2∙3^3)/2=4^3-3^3; a_1=(2∙4^3+2∙3^3)/2=4^3+3^3. (14) Где нечётные числа a_1=91; b_1=37.
2^2∙〖12〗^3=〖91〗^2-〖37〗^2=(91+37)(91-37)=(2∙4^3 )∙(2∙3^3 ).
Разложим на множители нечётные числа a=3^3+2∙2^3 уравнения (13) и a_1=4^3+3^3 уравнения (14).
a=(3^3+2∙2^3 )=(3+2∙∛2)∙(3^2-3∙2∙∛2+2^2∙∛(2^2 ))=43.
a_1=(4^3+3^3 )=(4+3)(4^2-4∙3+3^2 )=91=7∙13.
Разложение на множители нечётного числа a, относящегося к разложению числа 〖12〗^3, не есть целочисленное; тогда как разложение на множители нечётного числа a_1, относящегося к разложению числа 2^2∙〖12〗^3, целочисленное.
Разложим на множители по формуле суммы n – х степеней нечётное число (a) уравнения (6) и по формуле разности n – х степеней нечётное число (b) уравнения (7). [2]
a=B_1^y+2^((y-2))∙B_2^y=(B_1+2^(((y-2))/y)∙B_2 )(B_1^((y-1))-…+2^(((y-2)(y-1))/y)∙B_2^((y-1)) ). (15)
b=B_1^y-2^((y-2))∙B_2^y=(B_1-2^(((y-2))/y)∙B_2 )(B_1^((y-1))+⋯+2^(((y-2)(y-1))/y)∙B_2^((y-1)) ). (16)
Для сравнения целочисленности разложим также на множители по формуле суммы n – х степеней и по формуле разности n – х степеней нечётные числа a_1 и b_1 уравнения (11).
a_1=B_1^y+B_3^y=(B_1+B_3 ) (B_1^((y-1))-…+B_3^((y-1)) ). (17)
b_1=B_1^y-B_3^y=(B_1-B_3 ) (B_1^((y-1))+⋯+B_3^((y-1)) ). (18)
Итак показано, что разложение на множители нечётных чисел a ф. (15) и b ф. (16) не может быть целочисленным, тогда как для нечётных чисел a_1 ф. (17) и b_1 ф. (18) возможно их целочисленное разложение.
Выразим уравнение (1) следующим образом:
C^z-A^x=B^y=(a_4^2-b_4^2 ). (19)
Ранее было условлено, чётным числом в уравнении (1) является B^y, нечётные C^z,A^x. Поскольку любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, то левая часть уравнения (19) всего лишь выражение значения B^y и численно равна правой с предлагаемым методом разложения на множители разностью квадратов нечётных чисел. Поскольку эти нечётные числа не могут быть степенями целых чисел, то исходное выражение чётного числа, в данном случае (C^z-A^x ), не может быть выражено степенями целых чисел. Т. е. его целочисленное решение невозможно.
В этом отношении рассмотрим уравнение (3) применительно к уравнению (19) с разными показателями степеней, т. е. уравнению гипотезы Била.
C^z-A^x=B^y=c^n=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(2∙c_1^n )∙(2^((n-1) )∙c_2^n ).
В первую очередь нужно заметить, что множители разложения не являются полными степенями целых чисел. Во-вторых, нечётные числа, составляющие разность квадратов, выражаются неполной суммой и неполной разностью n – х степеней (см. (6) и (7)), что делает невозможным их целочисленное разложение на множители. Поэтому разность квадратов, и, соответственно, изначальное выражение чётного числа C^z-A^x не могут быть выражены целыми числами, тем более показано, что целочисленные значения исходных сочетаний нечётных чисел возможны лишь при умножении чётного числа на 2^2.
Однако и в этом случае решение в целых числах также невозможно, т. к. число 2^2∙B^y не есть степень целого числа.
Вывод: уравнение A^x+B^y=C^z (1) гипотезы Била не имеет целочисленных решений.
Следовательно, гипотеза Била доказана.
Список литературы.
1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. Стр. 8.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. Стр. 14.