Интерпретация математических парадоксов для прикладных расчетов.

Мне не редко приходится обращаться к прикладному программированию для решения некоторых задач по работе и для автоматизации некоторых рутинных процессов. И мне довелось сталкиваться с некоторыми трудностями, возникающими в процессе. Как оказалось, в ходе разговора с программистами, что даже у специалистов с более системным подходом к программированию тоже возникают такие трудности. Внезапные и самые неожиданные ошибки в работе программы, переводящие к её сбою, образуются тогда, когда возникают математические и логические противоречия. Устранение таких ошибок в ходе отладки программы занимает много времени. Зачастую причину так и не удаётся найти там, где казалось бы всё должно быть нормально. Чаще всего в этих случаях камнем преткновения становятся математические парадоксы. О них и продолжу мои дальнейшие рассуждения.
Математических парадоксов существует много, но я приведу примеры самых распространённых из них, которые создают ошибку программы. Чаще всего это деление на ноль, запредельно большое число, чëтный корень из отрицательного числа.
Абсолютно справедливо, что это невозможные действия и величины, и замечания об ошибки абсолютно честно и справедливо выдаются ЭВМ. Но конкретно в данной ситуации мы чаще всего имеем ошибку программы, которая весьма абстрактна и абсолютна не связана с реальным результатом её работы. И здесь подразумевается что программа должна была выдать какой-то результат, который мы уже ожидаем по приблизительным подсчётам, но данный парадокс послужил только препятствием для её работы. И такое чаще всего, за исключением редких случаев, когда реальный парадокс напрямую связан с абстрактным. И в большинстве, если обойти это парадоксальное математическое действие различными хитростями, то программа успешно завершит весь свой алгоритм действий и выдаст адекватный результат. Но прежде приходится потратить не мало времени на поиски того действия в котором возник этот парадокс. И тут возникает вопрос  : не проще ли сначала всё-таки разобраться с этими парадоксами в самых базовых программных структурах ЭВМ, чтобы потом не ковыряться в каждых программах? И здесь очевидно, что для этого нам нужно на все эти парадоксальные действия определить какой-то конкретный численный результат. Возможно это сомнительная игра цифр, которая не встретит одобрения учёного совета, но здесь нужно решить что нам в работе ЭВМ важнее - академическая справедливость или все-таки корректная работа. Вопрос риторический.
Давайте попробуем начать разбор с парадокса деления на ноль. Что в данном случае может подразумеваться под нулём? Не редко бывает такое, что очень малое число программа автоматически округляет до 0, при этом в реальности абсолютных величин не бывает, но они представляются в виде номинала с погрешностями. Исходя из такой логики, мы можем предположить, что 0 это бесконечно малая величина. Даже можно попробовать записать её в виде бесконечно малого числа, вспомнив например, что число в периоде обозначается в скобках - в данном случае это 0, а начинается счёт с 1. Тогда бесконечно малое число это 0,(0)1.
И так чему же будет равно n/0,(0)1? И это получается бесконечность. Ещё одно число, которое хоть и имеет свой символ, но не имеет числовое выражение, которое можно заложить в ЭВМ. И так, если счёт начинается с 1, то заканчивается он в любом разряде десятичной системы числом 9. Соответственно, пользуясь всё тем же обозначением периода, получаем значение бесконечности (9). Соответственно для чисел 0,(0)1 и (9), которые системой будут подразумеваться как 0 и бесконечность, математические законы должны работать как для 0 и бесконечности. Но при этом появятся например такое равенство как n/0,(0)1=(9), где если будет вводиться, то и визуализироваться в знаменателе число 0, но для расчета будет приниматься значение 0,(0)1, а выводиться в таком виде оно будет, если результатом расчета будет бесконечно малая величина, значение которой нам не важно, а важен сам факт того, что она очень мала, при этом возможно не получится полностью избавиться от 0 и деления на него, если в действии идут целые числа, но не дробные. Или такое равенство как n/(9)=0,(0)1, где за число (9) ЭВМ может посчитать любое число, которое имеет запредельно великое значение, когда нам не важно, на сколько оно велико, важен сам факт того что очень велико. При таком эквиваленте вводимых и условно принятых чисел парадокса деления на 0 больше не будет.
Теперь разберёмся с корнем чётной степени из отрицательного числа. Для примера возьмём -4^0,5.
Преобразуем это в (-1*4) ^0,5=2*(-1) ^0, 5.
Предположим что (-1) ^0, 5=x , тогда x^2=-1, соответственно x*x=-1. В данном случае мнимая единица нам не подходит, поскольку не известно как её задать в системе и использовать в прикладных расчётах. И в данном представлении это возможно если -1*1=-1. Что же получается, что значение переменной x здесь с разным знаком ? Выходит что (-1) ^0, 5=(+-)1, где знак перед 1 - величина случайная. Как же это математически выразить?
Пользуясь примером предыдущей абстракции запишем равенства:
-1=-0,(0)1*(9) и 1=0,(0)1*(9)
Если мы в решении предыдущей абстракции условились что абсолютного числа 0 у нас нет, то числа -0,(0)1 и 0,(0)1 по порядку счëта являются соседними. Соответственно из двух этих чисел на случайный выбор будет отрицательное или положительное. Тогда запишем равенство:
(+-)1=(9)*random(-0,(0)1;0,(0)1) , из чего
(-1)^(1/2n) =(9)*random(-0,(0)1;0,(0)1)
(-4)^0,5=2*(9)*random(-0,(0)1;0,(0)1)=(+-)2, и в этом случае программа будет выдавать значения либо 2, либо -2 случайно.
Это были два примера наиболее распространённых противоречий, раскрытие которых уже сможет помочь значительно упростить процесс программирования и дать новые возможности. Осталось не мало не раскрытых противоречий и здесь уже простор для открытий математикам специалистам.